Rappels de calcul vectoriel 1

<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN">Rappels de calcul vectoriel

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">1. produit scalaire de deux vecteurs et</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">1.1 définition</DIV> <DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">soientet deux vecteurs, formant entre eux un angle q orienté dans le sens trigonométrique du plan . Le produit scalaire de etest le scalaire noté</DIV> <DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">: norme de A (2.1)</DIV> <DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">linéarité (2.2)</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">1.2 propriétés fondamentales</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">(2.3)</DIV> <DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">si et sont normaux entre eux, (2.4)</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">1.3 carré scalaire et norme</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">si = le produit devient (2.5)</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">2. bases orthonormées</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">2.1 définition</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">dans le plan : base constituée de deux vecteurs et tels que :</DIV> <DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm"></DIV><DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">deux possibilités :</DIV>

dans l’espace (3D) : base telle que

2.2 repères ou trièdres directs - bases orthonormées directes

2.2.1 dans le plan :

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">repère direct : repère tel que</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">repère orthonormé direct : repère </DIV>

2.2.2 dans l’espace

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">repère direct : : tel que soient direct.</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">repère orthonormé direct tel que : la base soit orthonormée directe</DIV>

2.3 Calcul du produit scalaire dans une base orthonormée

2.3.1 en 2D :

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">soient </DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">soient </DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">3. produit vectoriel de deux vecteurs et</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">3.1 Définition</DIV> <DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">soient deux vecteurs et formant entre eux un angle q orienté dans le sens trigonométrique du plan . Le produit vectoriel de et, noté est un vecteur tel que :</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">est perpendiculaire au plan </DIV> <DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">le trièdre est direct (2.8)</DIV> <DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm"></DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">3.2 propriétés fondamentales</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">On vérifie à partir de la définition :</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm"> (2.11)</DIV> <DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">si et sont parallèles entre eux, (2.12)</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">3.3 cas particulier d’une base orthonormée directe</DIV>

3.4 calcul du produit vectoriel dans une base orthonormée soit et (2.13)

4. produit mixte de trois vecteurs ,,

4.1 définition C’est la quantité notée telle que (2.14) Dans une base orthonormée directe : (2.15)

4.2 propriétés (2.16) <DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">Le produit mixte est aussi le déterminant de : </DIV> <DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">Le produit mixte possède toutes les propriétés du déterminant dont :</DIV>

<DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">il change de signe si on permute deux vecteurs :</DIV> <DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">il s’annule si deux au moins des vecteurs sont identiques : ex : =0</DIV> <DIV style="MARGIN-BOTTOM: 0cm">....</DIV>

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