géométrie des masses

Eléments de définition d’un solide en dynamique

Un solide indéformable (S) est caractérisé par

ses dimensions (en m)

sa masse volumique r (en kg.m^-3).

Un solide dont la masse volumique est constante, quel que soit le point du solide considéré est un solide homogène. Un solide dont la masse volumique varie suivant le point du solide considéré est un solide hétérogène.

Pour utiliser les équations de la dynamique, il nous faut déterminer certaines quantités en fonction de ces éléments. Ce sont :

la masse M_S.

les coordonnées du centre de masse G_S

les éléments d’inertie du solide, ou, au moins certains d’entre eux.

Masse M_S du solide (S)

Définition

dV_P est le volume élémentaire.

Méthode pratique permettant de déterminer la masse d’un solide

il est généralement possible de décomposer (S) en une somme de solides homogènes dont la géométrie est simple (cylindres, parallélépipèdes, pyramides,...). Soit V_i le volume du solide S_i et r_i la masse volumique du solide S_i. La masse du solide (S) est alors :

Unités

l’unité de masse est le kilogramme (kg).

Remarque : Attention aux unités de mesure, si r est en kg.m^-3, V doit être en m³ pour que la masse soit en kg.

Centre de masse G_S du solide (S)

coordonnées du centre de masse

La position du centre de masse G_S de (S) peut être définie par les trois coordonnées X_GS,Y_GS,Z_GS du point G_S dans un repère lié à (S). Ces trois coordonnées sont les composantes dans la base “ s ” du vecteur 

calcul des coordonnées du centre de masse :

GS est le barycentre des points P de masse r_P.dV_P.

Remarquons que le terme au dénominateur n’est autre que la masse de (S). Le terme au numérateur, s’appelle le moment statique du solide (S) par rapport au point O_S :

Nous pouvons alors écrire que 

méthode pratique permettant de calculer la position du point G_S :

De nouveau, le principe de cette méthode est de décomposer le solide en solides homogènes élémentaires, de masse m_i et de centre de masse G_i. Nous pouvons alors calculer la position de G_S :

En projection dans le repère  nous obtenons :

;  ;

unité :

définit la position de G_S par rapport au point O_S. Ce vecteur est donc exprimé en unité de longueur, et en particulier en mètre (m).

remarque importante.

Si l’origine du repère est le centre de masse G_S (donc si O_S=G_S), le moment statique de (S) par rapport au repère  devient : . Cette relation nous permettra de simplifier de nombreuses relations dans le chapitre 8.

Moments d’inertie du solide (S)

introduction

La masse et le centre de gravité ne nous permettent pas de définir complètement le comportement d’un solide (S) en dynamique. Pour pouvoir modéliser de manière correcte le comportement des solides, nous avons besoin d’autres éléments dont les moments d’inertie. Les moments d’inertie sont définis par rapport aux axes du repère .

définition :

Moment d’inertie de (S) par rapport à la droite x’_sO_S x_s  : 

Moment d’inertie de (S) par rapport à la droite y’_sO_S y_s  : 

Moment d’inertie de (S) par rapport à la droite z’_sO_S z_s  : 

unité

Les moments d’inertie s’expriment en m².kg. Leur définition est très proche de celle utilisée pour les moments quadratiques en résistances des matériaux (exprimés en m⁴), mais il ne faut pas les confondre !

remarque

Un moyen mnémotechnique pour retenir la forme des moments d’inertie est le suivant : A est relatif à l’axe x, et dans l’intégrale permettant de calculer A, remarquons que x n’intervient pas, de même pour B, relatif à l’axe y, et pour C relatif à l’axe Z.

Produits d’inertie du solide (S)

introduction

Pour utiliser les relations de la dynamique, il nous faut aussi calculer trois produits d’inertie du solide (S), définis dans le repère 

définition

                                                 produits d’inertie du solide (S) par rapport au repère

unité :

Les moments d’inertie s’expriment en m².kg. Leur définition est très proche de celle utilisée pour les moments quadratiques en résistances des matériaux (exprimés en m⁴), mais il ne faut pas les confondre !

moyen mnémotechnique.

On peut remarquer que x n’intervient pas dans le calcul de D=P_/YSOSZS (la définition du produit ne contient pas x

D’une manière générale pour les moments et produits d’inertie, remarquons que x n’intervient pas dans A et D, y n’intervient pas dans B et E, z n’intervient pas dans C et F.

Matrice d’inertie de (S) par rapport à 

Pour pouvoir utiliser les éléments d’inertie relatifs au repère  dans les calculs de dynamique, il nous faut les placer dans une matrice (3,3) appelée matrice d’inertie.

les moments d’inertie sont placés sur la diagonale principale

les produits d’inertie, précédés du signe moins, sont placés symétriquement par rapport à cette diagonale.

La matrice d’inertie s’écrira donc :  avec

Remarques

propriétés mathématiques

Une matrice d’inertie est toujours carrée, symétrique et réelle. Généralement elle est constante, dans la mesure ou le repère choisi pour la calculer est lié au solide (S). Toutes les propriétés et méthodes de calcul qui s’appliquent aux matrices carrées, symétriques et réelles s’appliquent au matrices d’inertie et seront utiles dans les calculs.

Représentation physique

La matrice précédente représente en fait, en projection dans la base , les composantes du tenseur d’inertie du solide (S) relatives au point O_S.

Tenseurs

définition d’un tenseur

Dans la théorie des tenseurs, un vecteur est un tenseur d’ordre 1. Il a trois composantes (dans un espace à trois dimensions) qui constituent une matrice colonne, en projection dans une base donnée. Lors d’un changement de base, les composantes du tenseur d’ordre 1, exprimées dans la nouvelle base, sont des combinaisons linéaires des composantes du tenseur dans l’ancienne base.

Tenseur d’inertie

Le tenseur d’inertie est lui un tenseur d’ordre 2. Il a neuf composantes qui constituent une matrice  dans une base donnée. Lors d’un changement de base, les nouvelles composantes sont des combinaisons linéaires des anciennes. Le tenseur d’inertie est indépendant de toute base, on le notera  ; mais, pour l’exprimer sous forme de matrice  il nous faut le projeter dans une base.

Remarque sur le calcul des matrices d’inertie

Si les intégrales triples étaient toujours facile à calculer, nous pourrions arrêter ici la portion de cours de géométrie des masses. En effet, tous les éléments qui nous intéressent (masse, centre de masse, matrice d’inertie) ont été définis et peuvent être calculés. Les éléments de cours qui suivent n’ont d’autre but que de nous simplifier les calculs, et de nous éviter, dans la majorité des cas, de calculer la moindre intégrale.

Théorèmes relatifs au symétries

Simplification liée à la présence d’un plan de symétrie

Si un plan de coordonnées est plan de symétrie des masses de (S), les deux produits d’inertie, contenant, dans leur formule de calcul, la lettre de l’axe perpendiculaire à ce plan de coordonnées sont nuls dans toutes les matrices relatives à un point de ce plan.

Exemple

y_SO_Sz_S est plan de symétrie des masses de (S).

En écrivant D E F

x_S y_S z_S

Et en utilisant le second moyen mnémotechnique proposé à la fin du paragraphe 7.5 (rappel : x n’intervient pas dans A et D, y n’intervient pas dans B et E, z n’intervient pas dans C et F.), nous en déduisons que E=F=0, car les relations de calcul contiennent z_S.

Démonstration :

Soit le solide (S), symétrique par rapport au plan y_SO_Sz_S. A tout point P(x_P,y_P,z_P)Î(S) correspond un point P’(-x_P,y_P,z_P)Î(S).

Soit (S+) la partie de (S) telle que x.x_S >0.

De même 

Généralisation : cas d’un axe de symétrie

Si un axe de coordonnées est axe de symétrie des masses de (S), toutes les matrices d’inertie relatives à un point de cet axe sont diagonales (les trois produits d’inertie sont nuls).

Matrices centrales d’inertie de quelques solides élémentaires

Sphère

rayon R, centre d’inertie G, masse M :

Sphère creuse

rayon extérieur R, rayon intérieur r, masse M, centre d’inertie G

cylindre plein d’axe Gz

rayon R, hauteur h, masse M, centre d’inertie en G

cylindre creux d’axe Gz,

rayon extérieur R, rayon intérieur r, hauteur h, masse M, centre d’inertie en G

Parallelépipède

Longueur a, largeur b, hauteur h, masse M, centre d’inertie en G.

Pyramide

droite, de base rectangulaire longueur a, largeur b, hauteur h.

Cône droit

base circulaire, rayon R, hauteur h

Autre définition du moment d’inertie

Remarque

Soit le point P, de masse dm, tel que  son moment d’inertie par rapport à l’axe O_SZ_S est : , r étant la distance du point P à l’axe O_SZ_S.

autre définition du moment d’inertie

Cette remarque nous permet de définir d’une façon différente (mais équivalente) le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à une droite

Moment d’inertie d’un solide par rapport à une droite

Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à une droite quelconque D s’écrit :

avec R_PD² = distance du point P à la droite D.

Moment d’inertie d’un solide par rapport à un plan

Par analogie, nous définissons le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un plan Pl,

avec d_PPl² = distance du point P au plan Pl,

les moments d’inertie d’un solide (S) par rapport aux trois plans de coordonnée sont donc :

Moment d’inertie par rapport à un point

Nous pouvons aussi définir par analogie le moment d’inertie de (S) par rapport au point O_S :

Théorèmes relatifs aux moments d’inertie

Théorème 1

Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à une droite est la somme des moments d’inertie par rapport à deux plans perpendiculaires se coupant sur cette droite.

Théorème 2

Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un point est la somme des moments d’inertie par rapport à trois plans perpendiculaires entre eux se coupant en ce point.

Translation des axes : théorèmes d’Huygens (1629 - 1695)

théorème d’Huygens concernant les moments d’inertie :

Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un point H, (respectivement une droiteD_H ou un plan P_H) quelconque est égal au moment d’inertie de ce même solide (S) par rapport à son centre d’inertie G (respectivement D_G, droite // à D_H passant par G ou P_G plan // à P_H passant par G)auquel s’ajoute la masse de (S) multiplié par le carré de la distance du point H au point G (respectivement de la droite D_H à la droite D_G ou du plan P_H au plan P_G).

avec G_S = centre d’inertie de (S) et 

avec G_S = centre d’inertie de (S) et d = distance entre les deux droites parallèles D_H et D_GS

avec G_S = centre d’inertie de (S) et d = distance entre les deux plans parallèles P_H et P_GS

Remarque importante : un des deux éléments doit être G_S ou passer par G_S

théorème d’Huygens concernant les produits d’inertie :

Soit un solide (S) et un repère  O_S point quelconque. Soit G_S le centre d’inertie de (S). Les produits d’inertie de (S) par rapport au repère  sont liés aux produits d’inertie par rapport au repère (bien noter que les repères sont parallèles entre eux) par les équations suivantes : 

noter que  sont les coordonnées de G_S

dans le repère .

démonstration

Tous les vecteurs sont dans la base , liée à (S). O est un point lié à (S).

Soit P un point quelconque de (S). 

G est le centre d’inertie de (S). . Posons 

Sachant que , les relations suivantes sont vérifiées :  (1)

Démonstration pour les moments.

(2)  (3)

en combinant (1) et (2) : 

Développons :

Organisons l’équation : 

En séparant en quatre intégrales : et en sortant des intégrales les termes constants :

remarquons que la première intégrale est égale à A_G=I_/GX(S), que la seconde et la troisième intégrale sont nulles par définition du centre de gravité (voir la remarque terminant le chapitre 7.3) , et que la quatrième intégrale est égale à  si M_S est la masse de (S). Nous montrons donc que :

.

La même méthode nous permet de démontrer que :

et

Démonstration pour les produits :

La méthode est la même que précédemment :

Utiliser la relation (1), développer l’équation, et regrouper les termes en P, en G, et croisés.

Séparer l’intégrale en quatre intégrales

Sortir des intégrales les termes constants

La première intégrale est égale à M_S.y_G.z_G avec M_S = masse de (S), les deux suivantes sont nulles (voir la remarque terminant le chapitre 7.3), la dernière est égale à D_/G.

.

La même méthode nous permet de trouver :

et

En résumé

Changement de repère

Problème

Soit une matrice d’inertie du solide (S), relative au point O_S et à une base “ d ” (base de départ) :.

Nous souhaitons calculer la matrice semblable¹ à cette matrice d’inertie dans une base “ a ”

Nous disposons de la relation suivante entre la base “ a ” et la base “ d ” :

, soit, sous forme matricielle, 

Solution :

n appelle  la matrice de passage de la base d vers la base a, qui s’écrit :

Les matrices d’inertie sont carrées, symétriques et réelles, on démontre en mathématique² que :

.

Sachant que “ d ” et “ a ” sont des bases orthonormées directes, la matrice  est orthogonale, donc son déterminant est égal à ±1. Nous aurons donc 

En développant l’expression :

Diagonalisation des matrices d’inertie

Problème :

Soit une matrice d’inertie du solide (S), relative au point O_S et à une base “ d ” (base de départ) :

.

Nous souhaitons trouver une matrice semblable à  qui soit diagonale, ainsi que la base dans laquelle cette matrice existe.

Solution :

Les mathématiciens démontrent que :

Toute matrice carrée, symétrique et réelle (toutes les matrices d’inertie ont ces propriétés là) est diagonalisable par une matrice de passage orthogonale P

La matrice diagonale semblable est formée des valeurs propres l1,l2,l3 de la matrice de départ.

La base d’arrivée est un système (orthonormé) de vecteurs propres de la matrice de départ. Chacun des vecteurs propres correspond à une valeur propre.

Méthode pratique :

est vecteur propre et l_i est valeur propre de  si  soit 

on en déduit le système d’équations suivant :

Une solution en x_i,y_i,z_i différente de (0,0,0) existe si (et seulement si) le déterminant principal est nul (d’où... seulement deux équations indépendantes dans la suite des calculs, et la définition des vecteurs propres “ à un coefficient près ”).

Calcul des valeurs propres

Le déterminant principal, égal à 0 donne :

Attention : Ce sont bien D_d, E_d, F_d qu’il faut utiliser et non -D_d, -E_d, -F_d qui sont les valeurs numériques trouvées dans la matrice !

La matrice de départ étant carrée, symétrique et réelle, l’équation ci dessus a trois racines réelles, éventuellement multiples.

Nous avons trouvé , mais il nous reste à déterminer la base “ a ”

Recherche de la base d’arrivée, calcul des vecteurs propres

Pour chaque Il faut résoudre le système suivant,

. Le déterminant de ce système est nul, seul deux équations sont indépendantes. En choisir 2 sur les 3 trouvées, choisir une valeur pour x_i (par exemple), en déduire y_i et z_i. Nous obtenons le vecteur propre à un coefficient près, il nous reste à le normer. Répéter l’opération pour les autres vecteurs propres.

Si l1¹l2¹l3

nous pouvons construire une base .

Remarquons que 

Si l1=l2¹l3

le solide est de type “ cylindrique ”, il possède un axe de répétition matérielle d’ordre supérieur à 2 (parallélépipède à base carrée, hélice à au moins trois pales, cylindres,....). Les équations permettent de trouver , il faut alors choisir arbitrairement les vecteurs et, normaux entre eux, dans un plan perpendiculaire à 

Si l1=l2=l3

le solide est “ sphérique ” (sphère ou cube), mais .... votre matrice d’inertie de départ devait déjà être diagonale.... le choix des trois vecteurs ,, est... quelconque.

Eléments principaux d’inertie- Eléments centraux d’inertie.

Il est toujours possible de diagonaliser une matrice d’inertie (de part ses propriétés : carrée, symétrique, réelle). Il est donc toujours possible de trouver un repère tel que .

Les axes O_Sx_P, O_Sy_P, O_Sz_P, sont appelés axes principaux de (S).

Les moments d’inertie A_P,B_P,C_P, sont appelés moments d’inertie principaux de (S) relatifs au point O_S.

Les plans de coordonnées sont appelés plans principaux

La matrice d’inertie est appelée matrice principale d’inertie relative à O_S

Si O_S=G_S, alors  est la matrice centrale d’inertie du solide (S)

(note x_C=x_P, y_C=y_P, z_C=z_P=).

Méthode pratique pour calculer les éléments d’inertie d’un solide

Considérer globalement (S),

Considérer globalement (S), et le repère par rapport auquel on veut déterminer la matrice d’inertie.

Si le point O_S n’est pas évident, calculer d’abord G_S, cela simplifiera les changements de points par application du théorème d’Huygens.

Rechercher les plans ou axes de coordonnées qui sont axes de symétrie des masses de (S) Simplifier le plus possible la matrice d’inertie en faisant apparaître tous les zéros possibles.

décomposer (S) en solides élémentaires

Essayer de décomposer (S) en solides élémentaires, et, si c’est possible appliquer pour chaque solide élémentaire la méthode suivante :

rechercher la matrice centrale (diagonale, relative au centre de gravité du solide élémentaire) de (S).

appliquer (éventuellement) la rotation des axes pour trouver 

utiliser le théorème d’huygens pour trouver la matrice 

En sommant toutes les matrices d’inertie ainsi trouvées, obtenir 

intégrer

Si l’utilisation des intégrales est indispensable, se souvenir qu’il est plus facile d’intégrer par rapport à un plan que par rapport à un axe.

1 Deux matrices sont semblables si elles réalisent la même application linéaire.

2 Les deux matrices (de départ et d’arrivée) sont des matrices carrées représentant la même application linéaire d’un espace E dans lui même (endomorphisme), relativement à deux bases différentes. Se référer au cours de mathématiques.

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