notation : dans les définitions qui vont suivre, nous allons
désigner par 
les n paramètres d’un système matériel (D) et
leur dérivées premières et secondes par rapport au temps.
Définition
Une liaison géométrique s’exprime par des équations contenant les paramètres liés entre eux, et parfois le temps.
Forme générale : f(qi,t)=0
Note : les dérivées des paramètres n’interviennent pas.
Exemples
Contact entre deux solides :
Une sphère de centre C et de rayon R est en contact avec un plan horizontal.
Soit 
la verticale ascendante.
Une équation de liaison géométrique concerne la cote de C :
ZC=R
Paramètres principaux et paramètres intermédiaires, exemple du système bielle - manivelle
Un système bielle manivelle est un système à un degré de liberté. Pour définir la position des trois solides (piston, bielle, vilebrequin) un paramètre suffit ; généralement, on utilise a, l’angle de rotation de la manivelle.
a est alors le paramètre principal.
Pour simplifier l’écriture des équations de la dynamique, plusieurs paramètres intermédiaires peuvent être utilisés : Zb qui donne la position du piston au cours du temps, XG et ZG qui définissent la position du centre de gravité de la bielle au cours du temps, b qui permet d’obtenir la rotation instantanée de la bielle.
Cependant, l’utilisation de ces quatre paramètres intermédiaires, si elle simplifie l’écriture des équations de la dynamique, ajoute au système d’équations à résoudre quatre équations de liaison :
Equations de liaison cinématique
Définition
Une liaison cinématique s’exprime par des équations contenant les paramètres et leur dérivées premières, liés entre eux. Ces équations font parfois intervenir le temps
Forme générale : 
Note : les dérivées secondes des paramètres n’interviennent pas.
L’application la plus courante de ce type d’équations est la prise en compte du phénomène de roulement sans glissement au point de contact entre deux solides.
Exemple classique d’équation de liaison cinématique
Les équations de liaison cinématique proviennent généralement du contact entre deux solides et de l’hypothèse de roulement sans glissement.
Lorsque l’hypothèse de roulement sans glissement est utilisée, l’adhérence est supposée suffisamment grande pour avoir roulement sans glissement. Dans ce cas précis, l’adhérence n’est jamais nulle (contrairement aux hypothèses utilisées dans le cas des liaison “ parfaites ”.
Exemple d’équation de liaison de type “ roulement sans glissement ”:
La roue de centre O et de diamètre R roule sans glisser sur le sol. Soit I le point de contact entre la roue (2) et le plan (1)
l’équation de roulement sans glissement se traduit par :
Cette équation de liaison est utilisée dans les calculs. Il faut cependant vérifier, à l’issue des calculs, que l’hypothèse choisie était valable, donc que le frottement était “ suffisant ” :
Si cette condition est vérifiée, les calculs sont correct, sinon il faut recommencer le calcul en faisant l’hypothèse du glissement au point de contact : la vitesse entre le solide (1) et le solide (2) au point de contact est quelconque (inconnue), l’équation de liaison n’existe plus, par contre T=a.N
Systèmes holonomes et non holonomes
Equations holonomes
Certaines équations de liaisons cinématiques sont intégrables...... et peuvent ainsi devenir des équations de liaisons géométriques. Il est alors possible d’utiliser l’équation de liaison ainsi trouvée pour éliminer un paramètre. Notons que ce paramètre joue alors dans le système d’équation le rôle d’un paramètre intermédiaire.
Les liaisons traduites par des équations de liaisons de ce type (cinématiques et intégrables) et par des équations géométriques sont dites holonomes
Equations non holonomes
Certaines équations de liaisons cinématiques ne sont pas intégrables. Un théorème, démontré par Carathéodory dit que :
“ Il est impossible de diminuer le nombre des paramètres d’un système matériel en utilisant une équation de liaison cinématique non intégrable ”
Les liaisons traduites par des équations de ce type sont dites “ non holonomes ”.
Systèmes holonomes et non holonomes
Un système matériel contenant au moins une liaison non holonome est dit non holonome... Le système d’équations différentielles de mouvements de ce système n’est pas intégrable.
Equations de liaisons expérimentales
Définition
Les liaisons à caractère expérimental sont celles qui lient, par des paramètres déterminés expérimentalement, des composantes d’actions mécaniques entre elles ou des composantes d’actions mécaniques à des paramètres ou à leur dérivées.
Equations reliant des paramètres d’actions mécaniques et des lois de mouvements
Forme générale
avec
: action mécanique et q : paramètre d’une loi
de mouvement.
Premier exemple, la pesanteur :
au centre de gravité de (S), (S) = solide ou ensemble de solides étudiés,
de masse mS, l’action de la pesanteur sur (S) est appelée “ poids
de S ”, et l’équation de liaison qui régit le poids est :
. Expérimentalement, nous pouvons mesurer la
norme et la direction de l’accélération de la pesanteur 
. Au niveau de la mer g=9,81 m.s-2.
Notons que, dans cet exemple, nous avons fait des hypothèses simplificatrices,
d’autres considérations expérimentales nous permettent de dire que le phénomène
de pesanteur est lié à la force gravitationnelle qu’exerce la terre sur (S)
(et réciproquement).
Deuxième exemple : Ressort de traction compression
hypothèses : le plus souvent, la masse du ressort (corps déformable, qui ne peut être étudié par la mécanique du solide, mais éventuellement à l’aide de la mécanique des milieux continus) est négligée. Le ressort devient alors un “ transmetteur d’effort ” entre deux solides (S1) et (S2) auxquels il est attaché.
On désigne par l la longueur du ressort (l=l(t))
On désigne par l0 la longueur libre du ressort : sa longueur lorsqu’il n’est soumis à aucun effort.
On désigne par k la rigidité du ressort (mesurée expérimentalement) (en N.m-1)
L’action du ressort sur chacun des solides auxquels il est
lié est une force portée par l’axe du ressort, d’intensité 
Troisième exemple, ressort spirale, ou barre de torsion
Hypothèses : La masse du ressort est négligée, le ressort est considéré comme un transmetteur d’effort entre les solides (S1)
On désigne par q l’angle du ressort (q=q(t))
On désigne par q0 l’angle libre du ressort.
On désigne par k la rigidité du ressort (mesurée expérimentalement) (en m·N)
L’action du ressort sur chacun des solides auxquels il est
lié est un couple porté par l’axe de rotation du ressort, d’intensité 
Quatrième exemple, amortisseurs fluides :
hypothèses : l’amortisseur fluide est un transmetteur d’effort de masse négligeable (les différentes pièces de l’amortisseur (fluide excepté) peuvent être comptées avec les solides auxquels elles sont liées).
Les amortisseurs de ce type sont construits de manière à transmettre aux solides auxquels ils sont liés une force (dans le cas d’un amortisseur linéaire) ou un couple (dans le cas d’un amortisseur angulaire) proportionnel à la vitesse de glissement du piston dans le corps de l’amortisseur :
(amortisseur linéaire : 
ou angulaire : 
).
Pour que l’effort soit proportionnel à la vitesse, il faut que la vitesse du piston soit “ assez faible ” pour que les “ résistances de viscosité ” soient prépondérantes. La constante de proportionnalité entre effort et vitesse est appelé coefficient d’amortissement ou “ viscance ” de l’amortisseur.
L’équation de liaison obtenue est :
en translation : 
c est le coefficient d’amortissement en Kg·s
v est la vitesse relative des deux parties de l’amortisseur (Vtige/corps)
en rotation : 
l est le coefficient d’amortissement en m·N·s
est la vitesse angulaire relative des deux parties
de l’amortisseur.
Cinquième exemple, résistance de l’air
Nous nous intéressons ici à la résistance de l’air sur une surface (S) se déplaçant en translation linéaire avec une vitesse relative v par rapport à l’air.
Pour les objets courants, tel que vélo, automobiles, trains,..... avions à hélices, la vitesse v est “ grande ” mais inférieure à la vitesse du son (~ 300 m·s-1). Dans ce cas, l’expérience nous montre que les effets aérodynamiques sont prépondérants par rapport aux phénomènes de viscosité de la couche limite. L’intensité de la force, au centre de poussée, et dans la direction d’un axe x est alors donnée par :
r est la masse volumique de l’air. Au niveau de la mer et pour une température de 20°C, r=1.293 kg.m3
v est la vitesse relative entre le solide et l’air
S est la surface du maître couple, projection sur un plan perpendiculaire à v de la surface (S).
CX est le coefficient de traînée de la surface (S) suivant l’axe x (mesuré expérimentalement).
représente la pression dynamique mesurée par
un tube de pitot d’axe parallèle à v, placé en chaque point du maître couple.
composantes d’actions mécaniques
Dans le cadre de ce paragraphe, nous allons nous intéresser au cas le plus fréquent d’équations reliant des composantes d’actions mécaniques, celui du contact entre solides.
Retour sur les problèmes de cinématique liés au contact de deux solides
deux solides (S1) et (S2) sont en contact en un point I.
Nous pouvons décomposer le vecteur rotation 
en deux vecteurs :
un vecteur “ roulement ” 
situé dans le plan tangent au contact PI
un vecteur “ pivotement ” 
porté par la normale en I au plan PI
Si elle existe, la vitesse de glissement 
est également dans le plan PI.
Sur le schéma, ci dessous nous pouvons remarquer
le “ cône d’adhérence ”, d’angle â : coefficient d’adhérence a=tan(â)
le “ cône de frottement d’angle j : coefficient de frottement f=tan(j).
Il est aussi possible de modéliser une résistance au roulement et un “ coefficient de résistance au roulement d (exprimé en m) caractérisant le couple nécessaire pour faire rouler (S2) sur (S1)
Utilisation des équations de liaisons expérimentales
Dans le cas général du contact entre deux solides, il y a roulement,
pivotement et glissement sur une (ou plusieurs) petite surface de contact
(contact pseudoponctuel) autour du point I. Le torseur [T1/2]
représentant l’action mécanique du solide (S1) sur le solide (S2)
peut être projeté sur la normale au contact (n) et sur le plan PI
tangent au contact :
Les équations de liaisons relient alors 
en utilisant les coefficients
expérimentaux a, f et d définis précédemment.
Equations d’origines expérimentales à utiliser lorsqu’il y a glissement
(Coulomb 1736 - 1806 ; Hertz : 1857-1894).
glissement en I : 
avec 
roulement en I : 
avec 
pivotement en I : 
avec 
f est le coefficient de frottement, E le grand axe de “ l’ellipse ” limitant la surface de contact. En fait on peut dire que E est la plus grande dimension de cette surface.
Equations d’origines expérimentales à utiliser lorsqu’il y a “ équilibre strict ” (ou limite de glissement)
On utilise les mêmes relations que précédemment, mais les forces et couples sont opposés aux vitesses de glissement et de roulement “ possible ” (puisqu’elle sont nulles pour un équilibre strict). Il faut cependant remplacer le coefficient de frottement f par le coefficient d’adhérence a.
Equations d’origines expérimentales à utiliser lorsqu’il y a “ équilibre
” :
Il faut vérifier, si on a fait l’hypothèse de l’équilibre, que
Remarque
Dans les lois de coulomb, les coefficients d’adhérence et de frottement (a et f) sont supposés ne dépendre que de la nature des matériaux en contact. En fait les choses sont beaucoup plus compliquées, et ces coefficients dépendent de la pression de contact, de la vitesse de glissement,....)
souvent les valeurs de a et de f sont confondues. La différence entre ces deux valeurs explique cependant de nombreux phénomènes (“ broutement ” lors de mouvements lents, vibrations importantes lors de l’arrêt de véhicules, passage brutal de f à a et ...... l’intérêt de systèmes de freinage de type ABS (ne pas glisser pour garder a et non f <a).
l’introduction des équations de liaisons n’a aucun effet sur une modélisation isostatique...... bien faite, mais l’écriture des équations et surtout leur résolution en sont notablement compliquées
Conclusion :
Si les résistances et autres frottements ne jouent qu’un rôle passif, (dans les liaisons par exemple), il est possible de les négliger et de considérer les liaisons comme parfaites (pas de dépense d’énergie dans les liaisons). Les résultats seront généralement suffisamment corrects pour les applications classiques. Si ils ne sont pas suffisants il faudra alors ajouter uniquement les frottements nécessaires à l’étude du modèle.
si ces éléments (notamment la résistance au glissement) expliquent les phénomènes étudiés (freins, embrayages, irréversibilité du système vis-écrou, arc-boutement,....) il faut évidemment les prendre en compte.
quelques valeurs courantes de f (et de a à quelques % près)
|
Palier à film d’huile |
0.002 à 0.005 |
|
Métal sur métal bien graissé |
0.05 à 0.1 |
|
Métal sur métal légèrement graissé |
0.08 à 0.15 |
|
Métal sur métal à sec |
0.12 à 0 0.25 |
|
Cuir sur fonte ou acier à sec |
0.2 à 0.3 |
|
Bois ou “ ferrodo ” sur acier ou fonte à sec |
0.3 à 0.5 |
|
Pneu sur verglas |
0.08 à 0.1 |
|
Pneu neuf sur asphalte mouillé |
0.25 à 0.35 |
|
Pneu neuf sur asphalte lisse et sec |
0.6 à 0.7 |
|
Pneu neuf sur béton rugueux |
0.8 à 1 |
quelques valeurs courantes de d
|
matériau |
diamètre (mm) |
d (mm) |
|
Rouleau (bois sur bois) |
200 |
0.5 à 1.5 |
|
Roue de wagon sur rail sec |
800 |
0.5 à 1 |
|
Galet de pont roulant sur rail |
250 à 400 |
0.2 à 0.7 |
|
Pneu sur route “ normale ” |
roue “ normale ” |
2 à 5 |